MAYO

SEMANA 5

ECUACIONES DE CAUCHY- RIEMANN (ECR)

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son dos ecuaciones diferenciales parciales que son básicas en el análisis de funciones complejas de variable compleja, debido a que su verificación constituye una condición necesaria (aunque no suficiente) para la derivabilidad de este tipo de funciones.

La parte real se la denotara como u(x,y) y la parte  imaginaria como v(x,y)

TEOREMA:

FUNCIÓN ANALÍTICA

FUNCIÓN ARMÓNICA

Sea f(z) una función analítica que satisface las ECR:

Se dice que  u(x,y) y v(x,y)  son funciones armónicas 

ECUACIONES DE LAPLACE

• u(x,y) ^ v(x,y) se dice que son funciones conjugadas ARMÓNICAS una de la otra

• Toda función f(z)=u(x,y) +i v(x,y) que satisface las ecuaciones de Laplace  se llaman funciones ARMÓNICAS

• Se puede denotar también:

                                                                     uxx+uyy=0
                                                                      vxx+vyy=0

SEMANA 6

SEMANA 7

INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO

En el caso de los números reales:

Es una integral definida en un intervalo [a,b] c R y que se realiza considerando las sumas de Riemann.

En el caso de los números complejos:

Es una integral de linea a lo largo de la curva γ en el plano complejo

• Las integrales de linea complejas son similares a las integrales de linea de funciones reales de dos variables sobre curvas en el plano.
• En el caso de integrales cerradas que solo se cumplen para funciones analíticas complejas que sólo se cumplen para funciones analíticas complejas. Tal es el caso de la Integral de Cauchy y la existencia de las derivadas de orden superior.

INTEGRAL INDEFINIDA

Si f(z) tiene una antiderivada podemos evaluar la integral indefinida.

Sea F'(z)=f(z) entonces:

SeaF′(z)=f(z),entonces:

DEFINICIÓN

de donde:

INTEGRALES DE LÍNEA

DEFINICIÓN:

Sea z:[α,β]→R^2, una función continua tal que:

Se dice que "r" es una curva Diferenciable (suave o regular que no presenta picos) si cumple que:

CURVAS SUAVES

Las integrales de línea se definen solamente a lo largo de curvas suaves o suaves por intervalos

PROPIEDADES:

 Si γ es una curva suave o suave por intervalos y fz es una función continua, entonces existe:

                                   ∫γf(z)dz
1.Si ∃∫γf(z)dz∧∫γg(z)dz
entonces;
2. ∫γ[f(z)+g(z)]dz=∫γf(z)dz+∫γg(z)dz
3. ∫γαf(z)dz=α∫γf(z)dz;α∈C
4. ∫−γf(z)dz=−∫γ(z)dz

Propiedad 5:

γ es una curva suave representada por: z=z(t) para α≤t≤β y f(z) es continua, entonces:

INTEGRAL DE LÍNEA

CONJUNTO SIMPLEMENTE CONEXO

Se dice que D es un conjunto simplemente conexo, si solamente contiene pu ntos de D.

PROPIEDAD 6:

Sea γ una curva suave o suave por intervalos de z1a z2 en un dominio D simplemente conexo.

Si f(z) es analítica en D y  F′(z)=f(z) en el dominio D, entonces: 

SEMANA 8

INTEGRALES CERRADAS

Si γ es una curva suave cerrada entonces:

∫γf(z)dz=∮γf(z)dz

CURVA SIMPLE EN D

γ es una curva simple si no presenta entrecruzamientos 

1. Teorema de la integral de Cauchy 

Sea f una función  analítica  en D, un dominio simplemente conexo y γ una curva simple, entonces: 

REFERENCIAS:

http://personal.us.es/contreras/t08int_com.pdf

http://ocw.uc3m.es/matematicas/ampliacion-de-matematicas-i/lecturas/cap4.pdf

http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Analisis%20matematico/Temas/C04_Integracion_Plano_Complejo.pdf