JUNIO

SEGUNDO BIMESTRE

SEMANA 9

SUCESIONES Y SERIES

-Las sucesiones y series de variable compleja son similares a las sucesiones y series de variable real.
-El análisis e convergencia se realiza de igual manera que para el caso de variable real.
-En el caso de variable compleja se presenta el caso de la serie de Laurent que es propia de los números complejos y que no se define para los números reales

 

SUCESIONES

La sucesión compleja es una función de variables de números naturales en los números complejos.

                                                                   f:N→C

Ejemplo:  f(n)=in

Los elementos de la sucesión son:

{i0,i1,i2,.....,in}

Propiedades

SERIES

SEMANA 10

SERIES ESPECIALES

CRITERIOS DE CONVERGENCIA

SEMANA 10

TEOREMA

SERIES DE TAYLOR

Una función analítica admite un desarrollo mediante una serie de Taylor compleja de forma similar a las funciones reales .

Propiedad 1:

Si f es analítica en  Z0 , f tiene un desarrollo mediante una serie de Taylor representada por :

Si Z0 =0 entonces la serie toma el nombre de la serie de Maclauri

SERIES DE LAURENT

- Si f(z) no es analítica en z0, entonces no admite desarrollo mediante serie de Taylor-
- En este caso se define ka serie de Laurent que es propia de funciones de variable compleja
- Sea γ1:|z−z0|=r∧γ2:|z−z0|=R;r<R.

D={z∈c/r<|z−z0|<R} región anular limitada por γ1∧γ2

Sea f:D⊂C→C, función analítica dentro y sobre la frontera de D , entonces:

an,bn son los coeficientes de la serie de Laurent

TEOREMA:

Sea f (z) analítica en el anillo r < |z - zo| < R, entonces para todo z en este anillo:                       

   Para n= 0, +/- 1, +/- 2, +/- 3, ... y donde   γ es cualquier circunferencia |z - zo|= P ; r < P < R 

SEMANA 11

TEOREMA DEL RESIDUO

- En la teoría de los números reales se consideran puntos críticos o aquellos valores que toma la variable x , para los cuales f(x) no se define.

- En los números complejos a estos valores que toma "z", tales que f(z) no se define se les denomina singularidades.

SINGULARIDADES Y POLOS

Se los denomina a todos aquellos valores de "z" donde f(z)  no se define

SINGULARIDAD

Si f(z) es analítica en todo el dominio D, siendo D un anillo : 0<|z−z0|<r, excepto en z0. Este z0 constituye una singularidad de f(z).

POLOS:

-Si g(z) es una función analítica en todo el dominio D, siendo D:0<|z−z0|<r y f(z)=g(z)(z−z0)n entonces z0 es un polo de orden "n".

- Se puede demostrar que z0 es un polo de orden "n" si:
limz→z0f(z)=∞

RESIDUO:

Si la función f(z) tiene un polo en zj. El residuo de f en zj es a-1 y se calcula mediante:

TEOREMA DEL RESIDUO

Si f(z) es analítica en D, excepto en Z1, Z2, ... , Zj; donde f tiene singularidades. Sea γ una curva cerrada suave o suave por intervalos en D que encierra a Z1, Z2, ... , Zj; entonces:

Jueves 18 de Junio de 2015

Primera evaluación del segundo bimestre

EXPOSICIONES GRUPALES

Lunes 22 de Junio de 2015 

Funciones periódicas y ortogonales (Grupo 1)

Jueves 25 de Junio de 2015

Coeficientes de Fourier (Grupo 2)

Lunes 29 de Junio de 2015
Funciones pares e impares (Grupo 3)

REFERENCIAS:

• http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Analisis%20matematico/Temas/C03_Series_Complejas.pdf
• http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/Grupo1B/series.pdf